Question

已知，如图AB⊥AC，CD⊥AC，BE=DE，且∠BED=90°，则：
（1）求证：△AEB≌△CDE；
（2）试说明：AC=AB+CD．

Answer 1

分析：（1）由∠BED=90°，根据平角的定义可得∠AEB+∠DEC=90°，又根据垂直的定义得到∠A=90°，然后由直角三角形的两锐角互余得到∠AEB+∠ABE=90°，根据同角的余角相等得到∠ABE=∠DEC，再由AB⊥AC，CD⊥AC，根据垂直定义得到一对直角相等，以及BE=DE，根据“AAS”即可得证；
（2）由（1）的△AEB≌△CDE，根据全等三角形的对应边相等得到AB=CE，AE=CD，等量代换后即可得证．

解答：证明：（1）∵∠BED=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
又∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DEC，
在△AEB和△CDE中，

∠A=∠D=90° ∠ABE=∠DEC BE=DE

，
∴△AEB≌△CDE（AAS）；

（2）由（1）得到△AEB≌△CDE，
∴AB=CE，AE=CD，
则AC=CE+AE=AB+CD．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等量代换的思想，其中全等三角形的判定方法为：SSS；SAS；ASA；AAS；HL（直角三角形判定全等的方法），常常利用三角形的全等来解决线段或角相等的问题，在证明三角形全等时，要注意公共角及公共边，对顶角相等等隐含条件的运用．