Question

已知如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O直径，且PA⊥AB于点A，PO⊥AC于点M。

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）当时，求PC的长。

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接OC， ∵PA⊥AB， ∴∠PAO=90°， ∵AO=CO，PO⊥AC于点M， ∴∠AOP=∠COP， 又∵PO=PO， ∴△PAO≌△PCO， ∴∠PCO=∠PAO=90°， ∵C为半径OC的外端， ∴PC是⊙O的切线；
（2）∵PO⊥AC于点M， ∴M为AC中点， 又∵O是AB中点， ∴M∥BC， ∴∠MOA=∠B， ∴cos∠MOA=cosB=， ∵PO⊥AC于点M，在中，， ∵cos∠POA=， ∴在Rt△PAO中，， ， ∵PA= PC， 。