Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是AD、BC的中点，E、F分别是BM、CM中点。                  

（1）       求证：四边形MENF是菱形；

（2）       若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论。     

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为等腰梯形

        ∴AB=CD，∠A=∠D

        ∵M为AD的中点                               

      ∴AM=DM  

      ∴△ABM≌△DCM                    

      ∴BM=CM                       

      ∵E、F、N分别是MB、CM、BC的中点              

      ∴EN=MC，FN=MB，ME=MB，MF=MC      

      ∴EN=FN=FM=EM

      ∴四边形ENFM是菱形  

 

（2）结论：等腰梯形ABCD的高是底边BC的一半。   

    

 理由：连结MN

      ∵BM=CM，BN=CN

∴MN⊥BC

 ∵AD∥BC

∴MN⊥AD

∴MN是梯形ABCD的高  

又∵四边形MENF是正方形

∴△BMC为直角三角形

又∵N是BC的中点

∴MN=BC