Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C点的切线与AB的延长线交于点D，CE∥AB交⊙O于点E，连接AC、BC、AE．
（1）求证：①∠DCB=∠CAB；②CD•CE=CB•CA；
（2）作CG⊥AB于点G．若tan∠CAB=

1

k

（k＞1），求

EC

GB

的值（用含k的式子表示）．

Answer 1

分析：（1）①过点C作直径CF，连接BF，即可得∠A=∠F，又由直径所对的圆周角等于直角，可得∠CBF是直角，又由切线的性质，可得∠FCD是直角，即可证得∠BCD=∠CAB；②由CE∥AB，易证得∠ECA=∠DCB，有圆的内接四边形的对角互补，可得∠E=∠CBD，即可证得△ACE∽△DCB，则得到CD•CE=CB•CA；
（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得

EC

GB

的值．

解答：（1）证明：①如图1
解法一：作直径CF，连接BF．
∴∠CBF=90°，
则∠CAB=∠F=90°-∠1．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD，
则∠BCD=90°-∠1．
∴∠BCD=∠CAB．

解法二：如图2
连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
则∠2=90°-∠OCB．
∵CD切⊙O于C，
∴OC⊥CD．
则∠BCD=90°-∠OCB．
∴∠BCD=∠2．
∵OA=OC，
∴∠2=∠CAB．
∴∠BCD=∠CAB．
②∵EC∥AB，∠BCD=∠3，
∴∠4=∠3=∠BCD．
∵∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠AEC+∠ABC=180°，
∴∠CBD=∠AEC．
∴△ACE∽△DCB．
∴

CA

CE

=

CD

CB

．
∴CD•CE=CB•CA．

（2）解：如图3，连接EB，交OC于点H，
∵CG⊥AB于点G，∠ACB=90°．
∴∠3=∠BCG．
∴AE=BC，
∵∠3=∠4．
∴∠3=∠EBG．
∴∠BCG=∠EBG．
∵tan∠CAB=

1

k

（k＞1），
∴在Rt△HGB中，tan∠HBG=

GH

GB

=

1

k

．
在Rt△BCG中，tan∠BCG=

BG

CG

=

1

k

．
设HG=a，则BG=ka，CG=k²a．CH=CG-HG=（k²-1）a．
∵EC∥AB，
∴△ECH∽△BGH．
∴

EC

GB

=

CH

HG

=

(k2-1)a

a

=k2-1．

解法二：如图4，作直径FC，连接FB、EF，则∠CEF=90°．
∵CG⊥AB于点G，
在Rt△ACG中，tan∠CAB=

CG

AG

=

1

k

设CG=a，则AG=ka，BG=

1

k

a，CF=AB=AG+BF=（k+

1

k

）a．
∵EC∥AB，∠CEF=90°，
∴直径AB⊥EF．
∴EF=2CG=2a．
EC=

CF2-EF2

=

(k+ 1 k )2a2-(2a)2

）=（k-

1

k

）a．
∴

EC

BG

=

(k- 1 k )

1 k

=k²-1．

解法三：如图5，作EP⊥AB于点P
在Rt△ACG中，tan∠CAB=

CG

AG

=

1

k

，
设CG=a，则AG=ka，BG=

1

k

a，
可证△AEP≌△BCG，则有AP=BG=

1

k

a．
EC=AG-AP=（k-

1

k

）a．∴

EC

BG

=

k- 1 k

1 k

=k²-1．

点评：此题考查了圆的切线的性质与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．