Question

【题目】对于平面直角坐标系中的点，将它的纵坐标与横坐标的比称为点的“理想值”，记作．如的“理想值”．

（1）①若点在直线上，则点的“理想值”等于_______；

②如图，，的半径为1．若点在上，则点的“理想值”的取值范围是_______．

（2）点在直线上，的半径为1，点在上运动时都有，求点的横坐标的取值范围；

（3），是以为半径的上任意一点，当时，画出满足条件的最大圆，并直接写出相应的半径的值．（要求画图位置准确，但不必尺规作图）

Answer 1

【答案】（1）①﹣3；②；（2）；（3）

【解析】

（1）①把Q（1，a）代入y=x-4,可求出a值，根据理想值定义即可得答案；②由理想值越大，点与原点连线与轴夹角越大，可得直线与相切时理想值最大，与x中相切时，理想值最小，即可得答案；（2）根据题意，讨论与轴及直线相切时，LQ 取最小值和最大值，求出点横坐标即可；（3）根据题意将点转化为直线，点理想值最大时点在上，分析图形即可．

（1）①∵点在直线上，

∴，

∴点的“理想值”=-3，

故答案为：﹣3.

②当点在与轴切点时，点的“理想值”最小为0.

当点纵坐标与横坐标比值最大时，的“理想值”最大，此时直线与切于点，

设点Q（x，y），与x轴切于A，与OQ切于Q，

∵C（，1），

∴tan∠COA==，

∴∠COA=30°，

∵OQ、OA是的切线，

∴∠QOA=2∠COA=60°，

∴=tan∠QOA=tan60°=，

∴点的“理想值”为，

故答案为：.

（2）设直线与轴、轴的交点分别为点，点，

当x=0时，y=3，

当y=0时，x+3=0，解得：x=，

∴，．

∴，，

∴tan∠OAB=，

∴．

∵，

∴①如图，作直线．

当与轴相切时，LQ=0，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最大值．

作轴于点，

∴，

∴．

∵的半径为1，

∴．

∴，

∴．

∴．

②如图

当与直线相切时，LQ=，相应的圆心满足题意，其横坐标取到最小值．

作轴于点，则．

设直线与直线的交点为．

∵直线中，k=，

∴，

∴，点F与Q重合，

则．

∵的半径为1，

∴．

∴．

∴，

∴．

∴．

由①②可得，的取值范围是．

（3）∵M（2，m），

∴M点在直线x=2上，

∵，

∴LQ取最大值时，=，

∴作直线y=x，与x=2交于点N，

当M与ON和x轴同时相切时，半径r最大，

根据题意作图如下：M与ON相切于Q，与x轴相切于E，

把x=2代入y=x得：y=4，

∴NE=4，OE=2，ON==6，

∴∠MQN=∠NEO=90°，

又∵∠ONE=∠MNQ，

∴，

∴，即，

解得：r=.

∴最大半径为.