Question

平面上有A、B，C、D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．

Answer 1

分析：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即三角形的三个内角都大于45°，从假设出发推出矛盾：四边形内角和大于360°矛盾；三角形内角和大于180°．从而得以证明结论．

解答：证明：假设A、B，C、D四点，任选三点构成的三角形的三个内角都大于45°，
当ABCD构成凸四边形时，可得各角和大于360°，与四边形内角和等于360°矛盾；
当ABCD构成凹四边形时，可得三角形内角和大于180°，与三角形内角和等于180°矛盾．
故在△ABC、△ABD、△ACD、△BDC中至少有一个三角形的内角不超过45°．

点评：本题考查了反证法．
反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．