Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点与y轴交于点C，D为抛物线顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，过点C的直线交抛物线于另一点E，若∠ACE=60°，求点E的坐标．

（3）如图2，直线交抛物线于P，Q两点，求△DPQ面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）△DPQ面积的最小值为

【解析】

（1）由抛物线与x轴的两个交点坐标A（1，0），B（3，0），可代入点的坐标即可得解；

（2）过点A作AF⊥AC交AC的延长线于点F，过点F作FG⊥x轴交x轴于点G，可证明△AOC∽△FGA，利用60°角的锐角三角函数值和比例线段可求出AG和FG的长，则F点坐标为（10，），求得直线CF的解析式，与抛物线方程联立即求出点E的坐标；

（3）过点D作DM∥y轴交PQ于点M，由抛物线顶点D的坐标可知DM=2，若△DPQ面积有最小值，则底边是定值，点P和点Q的横坐标之差的绝对值最小．联立直线与抛物线方程可用k表示出点P和点Q的横坐标之差的绝对值，即可得解．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点

∴

解得：a=，b=；

∴所求抛物线的解析式为：；

（2）如图1所示，过点A作AF⊥AC交CE的延长线于点F，过点F作FG⊥x轴交x轴于点G，

∵∠COA=∠CAF=∠FGA=90°，

∴∠OCA=∠GAF，∠OAC=∠GFA

∴△AOC∽△FGA，

∴

又∵△CAF是直角三角形，∠ACE=60°

∴，

∴，

∵OC=3，OA=1，

∴FG=，AG=9，

∴F，

设直线CF的解析式为：y=mx+n，

将分别代入上式，

得，

解得：，

∴直线CF的解析式为：，

联立直线CF与抛物线的解析式得

∴，

解得：（不符合题意），，

∴所求点E的坐标为：；

（3）如图2，过点D作DM∥y轴交PQ于点M，

∵=

∴，

把x=2代入直线y=kx-2k+得y=，

∴DM=，

∵，

整理得，

∴P、Q两点的横坐标x1、x2为方程的两根，

∴==，

当k=0时，的最小值为8，此时|x1-x2|的最小值为2．

∵=|x1-x2|．

∴△DPQ面积的最小值为：．