Question

【题目】如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，交于．

（1）若，，求的度数；

（2）求证：；

（3）若，，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）由三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等即可解答；

（2）连接BE，根据三角形的内心定义和同弧所对的圆周角相等证得∠DBE＝∠BED，从而依据等角对等边即可证得；

（3）利用已知和角平分线的性质得，进而求得BF、CF的值，再证明△BDF∽△ACF和△DBF∽△DAB，利用相似三角形的性质得到关于BD的方程，解之即可解答﹒

（1）∵，，

∴∠BAC=180-∠ABC-∠C=60，

∵E是内心，

∴∠BAD＝∠CAD=∠BAC=30，

由同弧所对的圆周角相等得：

∠CBD=∠CAD=30；

（2）证明：连接BE，

∵E是内心，

∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠CAD．

∵∠CBD＝∠CAD，

∴∠CBD＝∠BAD，

∵∠BAD+∠ABE＝∠BED，∠CBE+∠CBD＝∠DBE，

∴∠DBE＝∠BED，

∴ DE＝DB；

（3）∵∠BAD＝∠CAD，AB=6，AC=4，BC=5

∴

∴ BF=3，CF=2

∵∠DBC＝∠DAC，∠BFD=∠AFC

∴ △BDF∽△ACF

∴，

∴，

∵∠BAD＝∠CAD=∠DBC，∠BDF=∠ADB

∴ △DBF∽△DAB

∴，

∴，

∴，又BD=DE，

∴．