Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段上一点，且满足．

（1）求直线的解析式及点的坐标；

（2）如图2，为线段上一动点，连接，与交于点，试探索是否为定值?若是，求出该值；若不是，请说明理由；

（3）点为坐标轴上一点，请直接写出满足为等腰三角形的所有点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）是定值，定值为2；（3），， ，，，，

【解析】

（1）利用“待定系数法”可求出解析式，然后过点C作CF⊥OB，利用等腰三角形的性质求出点C横坐标，再利用解析式求出点C坐标即可；

（2）先利用勾股定理计算出AB、OC长，从而证明OC=BC=AC，再利用“等边对等角”得到∠CAO=∠AOC，最后利用三角形外角定理即可得到结果；

（3）分BP=BC、CP=CB、PB=PC三种情况讨论，分别进行计算即可．

解：（1）设：，

代入点、可得，

解得：，

即：，

设，如图作，

∵，，

∴，

∴，即，

将点代入可得：，

∴；

（2）是定值，定值为2．

由（1）可得，，

∴在中，，

又∵在，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

又∵，

∴；

（3）①BC=BP=时：

当点P在x轴上时，OP=或，此时，，

当点P在y轴上时，在Rt△OBP中，OP=，此时，，

②CB=CP=时：

由（2）知OC=，

∴CP=OC，此时，

③PB=PC时：

当P在x轴上时，设P(x，0)，则，，

∴，解得，

此时，

当P在y轴上时，设P(0，y)，则，，

∴，解得，

此时，

综上，，，，，，，．