Question

2．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．同组的小颖和小亮随后想出了相同的方法进行解决：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；请证明小敏的发现的是正确的．

Answer 1

分析 （1）根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
（2）应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△OCE中应用勾股定理而证明；

解答 解：（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵∠BAD=∠DAM，
∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
∴∠MAE=∠EAC，
即AE平分∠MAC；
（2）如图2，

连接EF．
由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
∵∠BAD=∠FAD，
由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
在△AEF和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$
∴△AEF≌△AEC（SAS），
∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
在Rt△DFE中，DF²+FE²=DE²，
∴BD²+CE²=DE²．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．注意，旋转前后，图形的大小和形状都不改变．