Question

如图，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4）．动点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，同时动点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=．解答下列问题：

（1）求点D的坐标；

（2）直接写出t的取值范围；

（3）连接AQ并延长交x轴于点E，把AQ沿AD翻折，点Q落在CD延长线上点F处，连接EF．

①t为何值时，PQ∥AF；

②△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

Answer 1

（1）D（8，4）；（2）0＜t＜4；（3）①t=6-，②结论：△AEF的面积S不变化， S=32.

【解析】（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，设OC=x，则PC=x-4，∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC²+CQ²=PQ²，∴（x-4）²+2²=（）²，x₁=8，x₂=0（不符合题意舍去），∵矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），∴D（8，4）.

（2）∵D（8，4），∴t的取值范围是：0＜t＜4.

（3）①∵PQ∥AF，∴∠PQC=∠AFD，∵∠ADF=∠PCQ=90°，∴△CPQ∽△DAF，

∴，由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，∴，化简得，t₁=6+，t₂=6-，由（2）知0＜t＜4，∴t₁=6+＞4舍去，

∴当t=6-时，PQ∥AF；

②结论：△AEF的面积S不变化.

理由是：∵四边形AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴∠DAQ=∠CEQ,∵∠DQA=∠CQE,∴△AQD∽△EQC，∴，∴，，由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，则CF=CD+DF=8-t，∴S=S_梯形AOCF+S_△CEF-S_△AOE=（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE=[4+（8-t）]×8+（8-t）×-×4×（8+）=32（定值）.

∴△AEF的面积S不变化，S=32．