Question

【题目】如图，等腰Rt△BPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上（P与AC不重合），∠PBQ=90°，QP与BC交于E,QP延长线交AD于F，连CQ.

(1)①求证：AP=CQ ；

②求证：

(2)当时，求的值.

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）

【解析】

（1）①证出∠ABP=∠CBQ，由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论；
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC，∠APF=∠ABP，即可证得△APF∽△ABP，再根据相似三角形的性质即可求解；

（2）设正方形边长为，根据已知条件可求得PA的长，再根据第(1)②的结论可求得AF的长，从而求得答案.

证明：

（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵△PBQ为等腰直角三角形，

∴∠PBQ=90°，PB=BQ，

∵∠ABP+∠BPC =∠BPC+∠CBQ=，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP与△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

②如图，

∵∠CPB=∠3+∠4=∠1+∠2，

∵∠4=∠1=45°，

∴∠3=∠2，

∴∠5=∠2，

∵∠6=∠1=45°，

∴△PFA∽△BPA，

∴，

∴ 即；

(2)设正方形边长为，则，

∵，

∴，

∴PA=，

∵，

∴，

解得：AF=，

∴DF=，

∴.