Question

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝2，BC＝6，AB＝3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFG为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM．是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

Answer 1

（1）2；（2）存在，t=或﹣3+；.

试题分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先由△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M、∠DB′M和∠B′DM分别是直角，列方程求解即可；（3）分别从，， 和时去分析求解即可求得答案：
①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=.
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣.
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
∴当时，S=S_△FMN=×t×t=t².

②如图④，当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB= ，∴FK=2﹣EK=﹣1.
∵NL=，∴FL=t﹣，∴当时，S=S_△FMN﹣S_△FKL=t²﹣（t﹣）（﹣1）=.

③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=. ∴t=.
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1.
∴当时，S=S_梯形GNMF﹣S_△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（﹣1）=.

④如图⑥，当时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
∴S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}﹣S_{梯形B′EMN}=.

综上所述：.
试题解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x.
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x.
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC. ∴，即，解得：x=2，即BE=2.

（2）存在满足条件的t，理由如下：
如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC. ∴，即. ∴ME=2﹣t.
在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B′E²=2²+（2﹣t）²=t²﹣2t+8.
在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t﹣2）²=t²﹣4t+13.
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1.
在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=（t+1）²+ t ²=t²+t+1.
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM²=B′M²+B′D²，即t²+t+1=（t²﹣2t+8）+（t²﹣4t+13），解得：t=.
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D²=B′M²+DM²，即t²﹣4t+13=（t²﹣2t+8）+（t²+t+1），解得：t₁=﹣3+，t₂=﹣3﹣（舍去）.∴t=﹣3+.
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²，即t²﹣2t+8=（t²﹣4t+13）+（t²+t+1），此方程无解.
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形.

（3）.