Question

观察下列有规律的数：

1

2

，

1

6

，

1

12

，

1

20

，

1

30

，

1

42

…
根据其规律，则
（1）第7个数是

 

；
（2）第n个数是

 

；
（3）

1

156

是第

 

个数；
（4）计算：

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+

1

30

+

1

42

+…+

1

n(n+1)

．

Answer 1

分析：根据所给的数据，发现：第n个数的分子是1，分母是n（n+1）．根据这一规律．即用代数式表示为

1

n(n+1)

．
即可计算：第7个数是

1

7×8

=

1

56

；当分母是156时，即n（n+1）=156，n=12或n=-13（应舍去）．
（4）中，

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．根据上述规律进行拆分，发现抵消的规律，即可计算．

解答：解：根据以上分析（1）第7个数是

1

7×8

=

1

56

；

（2）第n个数是

1

n(n+1)

；

（3）根据上述规律，得n（n+1）=156，n=12或n=-13（负数应舍去）．

（4）解：原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：此题主要是发现分母的规律，能够根据规律进行拆分计算．