题目内容

已知直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a．在AC、BC上分别有一动点P、Q，且PQ始终平分△ABC的面积．作PR⊥CA交AB于R，QS⊥BC交AB于S．线段BS、SR、RA能否构成一个直角三角形，证明你的猜想．

证明：∵直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=a，BC=2a，
∴AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ a，
设CP=b，则AP=a-b，
设CQ=x，∵S_△CPQ= $\text{[math]}$ S_△ABC，即 $\text{[math]}$ bx= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a•2a，

∴x= $\text{[math]}$ ，即CQ= $\text{[math]}$ ，BQ=2a- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵PR∥BC，
∴△APR∽△ACB，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴AR= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a-b），
同理，BS= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴SR= $\text{[math]}$ a- $\text{[math]}$ （a-b）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∵[ $\text{[math]}$ （a-b）]²+{ $\text{[math]}$ ]²=[ $\text{[math]}$ ]²，
即AR²+BS²=SR²．
∴线段BS、SR、RA能构成一个直角三角形．
分析：设CP=b，则可以用b表示出AP的长，然后利用S_△CPQ= $\text{[math]}$ S_△ABC，表示出BQ的长，根据△APR∽△ACB，相似三角形的对应边的比相等，即可利用a、b表示出AR的长，同理可以表示出BS的长，则ER可以表示出，然后利用勾股定理的逆定理即可判断．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理，以及相似三角形的性质，正确表示出AR的长度是关键．