Question

如图所示，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与∠ABC的平分线相交于点I，延长AI交圆O于点D，连接BD、DC．
（1）求证：BD=DC=DI；
（2）若圆O的半径为10cm，∠BAC=120°，求△BDC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得∠BAD=∠DAC，进而可得BD=DC．同理可得∠BAD=∠DBC，易证△BDI为等腰三角形．结合BD=ID，容易得到证明．
（2）根据圆内接四边形的性质与圆周角定理，可得∠DBC=∠DCB=60°，△BDC为正三角形．又OB=10cm，可得△BDC的面积．
解答：（1）证明：∵AI平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴=，
∴BD=DC．                                       
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI．
∵∠BAD=∠DAC，∠DBC=∠DAC，
∴∠BAD=∠DBC．
又∵∠DBI=∠DBC+∠CBI，∠DIB=∠ABI+∠BAD，
∴∠DBI=∠DIB，
∴△BDI为等腰三角形，
∴BD=ID，
∴BD=DC=DI．                                    

（2）解：当∠BAC=120°时，△ABC为钝角三角形，
∴圆心O在△ABC外．
连接OB、OD、OC．
∴∠DOC=∠BOD=2∠BAD=120°，
∴∠DBC=∠DCB=60°，
∴△BDC为正三角形．                             
∴OB是∠DBC的平分线，
延长CO交BD于点E，则OE⊥BD，
∴BE=BD，
又∵OB=10，
∴BD=2OBcos30°=2×10×=10．
∴CE=BD•sin60°=10×=15，
∴S_△BDC=BD•CE=×10×15=75．
答：△BDC的面积为75cm²．
点评：此题综合性较强，综合考查了等腰梯形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定、角平分线的性质等知识点．