Question

如图①，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥DE，CE⊥DE，分别于D、E．

(1)判断BD与DE＋CE的关系，并说明理由．

(2)若直线AE绕A点旋转到如图②(BD＜CE)所示位置时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请说明理由．

(3)若直线AE绕A点旋转到如图③(BD＞CE)所示位置时，其余条件不变，则BD与DE、CE的关系如何？请直接写出结果，不用证明．

(4)归纳(1)(2)(3)，请用简洁的语言表述BD、DE、CE的关系．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)BD＝DE＋CE． 　　理由：∵∠BAC＝90°，∠BAD＋∠BAC＋∠CAE＝180°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°． 　　∵BD⊥DE，∴∠BAD＋∠ABD＝90°． 　　∴∠ABD＝∠CAE． 　　在△ABD与△CAE中， 　　 　　∴△ABD≌△CAE(AAS)． 　　∴DA＝CE，AE＝BD(全等三角形的对应边相等)． 　　∵AE＝DA＋DE，∴BD＝DE＋CE． 　　(2)BD＝DE－CE，理由同上． 　　(3)BD＝DE－CE． 　　(4)归纳(1)(2)(3)可知，结论表示为： 　　当B、C在AE两侧时，BD＝DE＋CE． 　　当B、C在AE同侧时，BD＝DE－CE． 　　分析：本题反映了动态几何中的量的关系，其关键是猜想规律，再运用有关的几何知识进行证明． 　　三种情况下，都可以证明△ABD≌△CAE，把BD、CE转换到直线AE上，分不同的情况讨论．