Question

已知关于x的一元二次方程（a-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，
（1）求a的取值范围；
（2）若5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂；求a的值．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的定义,根的判别式

专题：计算题

分析：（1）根据一元二次方程根的定义和判别式的意义得到a-1≠0且△=4-4（a-1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=

2

a-1

，x₁•x₂=

1

a-1

，再变形5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂得到5（x₁+x₂）+2x₁x₂=2a，利用整体代入方法得

10

a-1

+

2

a-1

=2a，
解分式方程，然后根据（1）中的条件得到a的值．

解答：解：（1）根据题意得a-1≠0且△=4-4（a-1）＞0，
解得a＜2且a≠1；

（2）根据题意得x₁+x₂=

2

a-1

，x₁•x₂=

1

a-1

，
∵5x₁+2x₁x₂=2a-5x₂，
∴5（x₁+x₂）+2x₁x₂=2a，
∴

10

a-1

+

2

a-1

=2a，
整理得a²-a-6=0，解得a₁=3，a₂=-2，
∵a＜2且a≠1，
∴a=-2．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判别式．