题目内容
将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．请研究以下问题：
（1）设
、
，求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）．
（2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB．
（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）．
解：（1）设直线OM对应的函数表达式y=kx．
根据题意，得M（b，
），
则有bk=，即k=
，
则直线OM对应的函数表达式y=
；
（2）根据题意，得Q（a，
）．
当x=a时，则y=，则Q点在直线OM上；
根据题意，得四边形PQRM是矩形，则QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=∠AOB；
（3）可以运用上述方法作钝角的补角（锐角）的三等分线，再进一步构造60°的角．
利用60°减去所求的角即是我们要的角度．
分析：（1）根据题意，得M（b，），再进一步运用待定系数法求解；
（2）根据题意，得Q（a，），再根据（1）中求得的直线解析式求证Q点在直线OM上；结合矩形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可证明；
（3）可以运用上述方法作钝角的补角的三等分线，再进一步构造60°的角．
点评：此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
根据题意，得M（b，
），则有bk=
，即k=，则直线OM对应的函数表达式y=
；（2）根据题意，得Q（a，
）．当x=a时，则y=
，则Q点在直线OM上；根据题意，得四边形PQRM是矩形，则QS=SR，
∴∠SQR=∠SRQ．
∵OP=PS，
∴∠POS=∠PSO=∠SQR+∠SRQ=2∠MOB，
∴∠MOB=
∠AOB；（3）可以运用上述方法作钝角的补角（锐角）的三等分线，再进一步构造60°的角．
利用60°减去所求的角即是我们要的角度．
分析：（1）根据题意，得M（b，
），再进一步运用待定系数法求解；（2）根据题意，得Q（a，
），再根据（1）中求得的直线解析式求证Q点在直线OM上；结合矩形的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可证明；（3）可以运用上述方法作钝角的补角的三等分线，再进一步构造60°的角．
点评：此题在考查三等分角的作法时，综合考查了待定系数法求函数解析式的方法、矩形的性质以及三角形外角的性质等，综合性较强．
练习册系列答案
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∠MOB=
的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
）、R（b，
），求直线OM对应的函数表达式（用含a，b的代数式表示）；
∠AOB；
的图象交于点P，以P为圆心、2OP长为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M，连接OM得到∠MOB，则∠MOB=
∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题：
）、R（b，
），求直线OM对应的函数关系式（用含a、b的代数式表示）．
∠AOB．