Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知动点P(t－6，)在定直线l1上运动．

(1) 求直线l1的函数解析式；

(2) 如图1，l1与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称，过点P作y轴的平行线，交x轴于点M，交直线BC于点Q；

① 若△PQB的面积为3，求点M的坐标；

② 如图2，连接BM．若∠BMP＝∠BAC，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)①或；②()或().

【解析】

(1)由点P的横坐标x= t－6，纵坐标y=，消元消去t即可得到解析式；

(2)①分点M在y轴左侧和右侧；先求出直线QC的解析式，然后再用t的代数式表示PQ的长度，根据△BPQ的面积求出t的值，最后求出M点的坐标；

②由对称得出∠BAC=∠ACB，且∠BMP+∠BMC=90°，所以得到∠MBC=90°时即可满足题意，利用待定系数法得出直线BM解析式，再令y=0即可得出结论．

解：(1)由P(t－6，)可知：

横坐标x= t－6，即t=x+6，代入y=中，消去t，

得到：y=

故直线l1的函数解析式为：.

故答案为：.

(2)①设M点坐标为(m，0)，则P(m, )

令中y=0，得到A(-6,0)，令x=0，得到B(0,3)

又A、C关于y轴对称，∴C(6,0)

设BC的解析式为：y=kx+b，代入B(0,3)和(6,0)

即：，解得

∴BC的解析式为：，∴Q(m, )

∴PQ=

过B点作BD⊥PQ于D，如下图1所示:

则BD=

∴

∴

故M的坐标为：或.

故答案为：或.

②当点M在y轴的左侧时，如下图所示：

∵点C与点A关于y轴对称

∴AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA

∵∠BMP=∠BAC，

∴∠BMP=∠BCA

∵∠BMP+∠BMC=90°，

∴∠BMC+∠BCA=90°

∴∠MBC=180°-(∠BMC+∠BCA)=90°

∴BM2+BC2=MC2

设M(x,0)，则P()

∴BM2=OM2+OB2=x2+9，MC2=(6-x)2，BC2=OC2+OB2=62+32=45

∴x2+9+45=(6-x)2

解得：x=，故P点坐标为().

当点M在y轴的右侧时，如下图所示：

由对称性可得：OM=

∴P点横坐标为，代入AB解析式中

得到P点坐标为：()

综上所述，故P点的坐标为：()或().

故答案为：()或().