Question

【题目】如图，点在的边上，点在内部，，，．

给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（ ）

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出△BAD≌△CAE，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；②由等腰直角三角形的性质得到∠ABE+∠ECB=45°，等量代换得到∠ABD+∠ECB=45°；③由∠ABD+∠ECB=45°以及∠ABC=45°得到∠ABD+∠ECB+∠ABC=90°，从而得到∠BEC=90°，即可得到BD垂直于CE；④由BD垂直于CE，在直角三角形BCE和三角形CDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．

①∵∠DAE=∠BAC=90°，

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE，即∠BAD=∠CAE，

又∵AB＝AC， AD＝AE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①正确；

∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ACB=∠ABC=45°，即∠ACE+∠BCE=45°，

∴∠ABD+∠ECB=45°，故②正确；

∴∠ABD+∠ECB+∠ABC=90°，

∴∠BEC=90°，即BD⊥CE，故③正确；

∴CD2=CE2+DE2，BE2+ CE2=BC2，

即CE2=CD2-DE2，BE2=BC2-CE2，

又∵AB=AC，∠BAC=90°，AD=AE，∠DAE=90°，

∴BC2=AB2+AC2=2AB2，DE2=AD2+AE2=2AD2，

∴BE2=BC2-CE2=2AB2-（CD2-2AD2）=2（AD2+AB2）-CD2，故④正确，

∴正确的有4个，

故选D.