Question

如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，E是边AB上一动点，过点E作EF⊥AB交AD的延长线于点F，交BD于点M．
（1）请判断△DMF的形状，并说明理由．
（2）设EB=x，△DMF的面积为y，求y与x之间的函数关系式．并写出x的取值范围．

Answer 1

解：（1）△DMF是等腰三角形．理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=AD，
∵∠A=60°，
∴∠ABD=60°，
∵EF⊥AB，
∴∠F=30°，∠DMF=∠EMB=30°，
∴∠F=∠DMF，
∴DM=DF，
∴△DMF是等腰三角形．

（2）EB=x，则AE=4-x，由tan60°=，则EF=（4-x），EN=2，
∴NF=EF-EN=（2-x），FM=2（2-x）．
∵MN=NF=（2-x），
∴DN=MNtan30°=2-x，
∴y=FM•DN=（2-x）×2（2-x）=（2-x）²，（0≤x＜2）．
分析：（1）△DMF是等腰三角形．主要利用菱形ABCD中，∠A=60这个条件得到∠E、∠DMF的度数来判断；
（2）不能直接表示△DMF的面积，采用面积分割法，用△AEF、△BEM来表示它．
点评：此题主要考查等腰三角形的判定，菱形的性质，以及三角形的面积公式．