题目内容

如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA₁⊥AB，垂足为A₁，再过A₁作A₁C₁⊥BC，垂足为C₁，过C₁作C₁A₂⊥AB，垂足为A₂，再过A₂作A₂C₂⊥BC，垂足为C₂，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，A₂C₂，…，A_nC_n，则A₁C₁=________，A_nC_n=________．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：首先由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理即可求得AB的长，易证得△CA₁B∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得A₁C的值，同理可求得：A₁C₁，A₂C₁，A₂C₂的值，则可得规律：A_nC_n=6×（ $\text{[math]}$ ）²ⁿ．
解答：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= $\text{[math]}$ =10，
∵CA₁⊥AB，
∴∠CA₁B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA₁B∽△ACB，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
即A₁C= $\text{[math]}$ AC=6× $\text{[math]}$ ，
同理可得：A₁C₁= $\text{[math]}$ A₁C=6×（ $\text{[math]}$ ）²=6×（ $\text{[math]}$ ）^2×1，
A₂C₁= $\text{[math]}$ A₁C₁=6×（ $\text{[math]}$ ）³，
A₂C₂= $\text{[math]}$ A₂C₁=6×（ $\text{[math]}$ ）⁴=6×（ $\text{[math]}$ ）^2×2，
可得规律为：A_nC_n=6×（ $\text{[math]}$ ）²ⁿ．
故答案为：6×（ $\text{[math]}$ ）²，6×（ $\text{[math]}$ ）²ⁿ．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．