Question

已知抛物线y=ax²-5ax+c与直线y=mx+n交于点A（-3，0）点B（5，4），与y轴交于点C．
（1）求抛物线与直线的解析式和点C的坐标．
（2）若点M是直线AB上的抛物线上一点，求△MAB的最大面积．
（3）若点P是直线x=1上一点，是否存在一点P，使△PAB是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A（-3，0），B（5，4）两点坐标分别代入y=ax²-5ax+c与y=mx+n中，可求a、c及m、n的值，确定抛物线与直线的解析式，令抛物线解析式中x=0，可求点C的坐标；
（2）过点M作MF⊥x轴，交直线AB于E，设M、E两点的横坐标为m，分别用抛物线、直线的解析式表示两点纵坐标，根据S_△MAB=S_△AME+S_△BME，列出关于m的二次函数，求二次函数的最大值；
（3）过点B作BN⊥x轴，由勾股定理求AB，分别以A、B两点为圆心，AB长为半径画弧，与直线x=1交于四个点，由对称性及勾股定理可求四点坐标．

解答：解：把点A（-3，0）和点B（5，4）代入y=ax²-5ax+c
得

9a+15a+c=0 25a-25a+c=4

解得

a=- 1 6 c=4

，
∴y=-

1

6

x²+

5

6

x+4，
把点A（-3，0）和点B（5，4）代入y=mx+n得

-3m+n=0 5m+n=4

，
解得

m= 1 2 n= 3 2

，
∴y=

1

2

x+

3

2

，
当x=0时，y=-

1

6

x²+

5

6

x+4=4，
故C（0，4）；

（2）过点M作MF⊥x轴，交直线AB于E，过点B作BN⊥x轴，
设M（m，-

1

6

m²+

5

6

m+4）
E（m，

1

2

m+

3

2

），
S_△MAB=S_△AME+S_△BME=

1

2

ME•AF+

1

2

ME•FN=

1

2

ME•AN
=

1

2

（-

1

6

m²+

5

6

m+4-

1

2

m-

3

2

）×8
=-

2

3

m²+

4

3

m+

10

3

，
∵-

2

3

＜0，
∴当m=-

4 3

2(- 2 3 )

=1时，S最大值=4；

（3）存在；
P点坐标为（1，8）或（1，-8）或（1，-4）或（1，12）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有一次函数、二次函数解析式的求法，抛物线的顶点公式的运用及三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．