Question

【题目】已知直线l：y=kx+4与抛物线y=x2交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求：；的值．

(2)过点(0，-4)作直线PQ∥x轴，且过点A、B分别作AM⊥PQ于点M，BN⊥PQ于点N，设直线l：y=kx+4交y轴于点F．求证：AF=AM=4+y1．

(3)证明：+为定值，并求出该值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）．

【解析】

（1）联立y=kx+4与y=x2，根据一元二次方程根与系数的关系即可求出、的值；

（2）作FC⊥AM于点C，可求F（0,4）.设A（x1 x1）,根据勾股定理及图形与坐标的关系可证结论成立；

（3）求出AF=， BF=，代入+化简即可.

∵y=kx+4，y=x2，

∴x2- kx-4=0，

∴,

；

∵y1=kx1+4，y2=kx2+4，

∴；

（2）作FC⊥AM于点C，

∵当x=0时，

y=0+4=4，

∴F（0,4）.

设A（x1 x12）,

∴AF=.

∵AM=，

∴AF=AM.

∵y1=x12，

∴AF=AM=4+y1；

（3）由（2）知，AF=，同理可求BF=.

∴+

=

=

= .

∵ y2+(-8-16k2)y+16=0,

∴，，

∴+=

= .