Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，四边形BCED为平行四边形．DE、AC相交于点F．
（1）求证：点F为AC中点；
（2）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由；
（3）若BC=3，AC=4，求四边形ADCE的面积；
（4）若想四边形ADCE为正方形，△ABC应添加条件

AC=BC

．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AFD=∠ACB=90°，然后根据等腰三角形三线合一证明即可；
（2）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DF=

1

2

BC，然后求出DF=EF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定即可；
（3）根据平行四边形的对边相等可得DE=BC，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解；
（4）△ABC应添加条件是AC=BC，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，然后求出∠ADC=90°，再根据一个角是直角的菱形是正方形证明即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴AD=CD，
∵四边形BCED为平行四边形，
∴DE∥BC，
∴∠AFD=∠ACB=90°，
∴AF=FC，
故点F为AC中点；

（2）解：四边形ADCE是菱形．
理由如下：∵点F是AC的中点，D为AB的中点，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF=

1

2

BC，
又∵四边形BCED为平行四边形，
∴DE=BC，
∴DF=EF，
∴AC、DE互相垂直平分，
∴四边形ADCE是菱形；

（3）解：∵BC=3，
∴DE=3，
又∵AC=4，
∴四边形ADCE的面积=

1

2

AC•DE=

1

2

×4×3=6；

（4）解：△ABC应添加条件是AC=BC．
理由如下：∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
由（2）可知四边形ADCE为菱形，
∴四边形ADCE是正方形．

点评：本题是四边形综合题型，主要利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的中位线定理，菱形的判定与面积等于对角线乘积的一半的求解方法，等腰三角形三线合一的性质，正方形的判定，要熟练掌握菱形与正方形的联系与区别．