Question

5．如图，AB=AC，DC=DE，∠BAC+∠CDE=180°．设∠BAC=α，连接BE，P为BE的中点．

（1）如图1，当α=90°时，若A、C、D三点共线，求∠PAC的度数；
（2）如图2，若A、C、D三点不共线，求证：AP⊥DP；
（3）如图3，当α=60°时，若点C线段BE上，AB=2，CD=2$\sqrt{2}$，直接写出PD的长度．

Answer 1

分析 （1）构造出△ABP≌△FEP得出AB=EF，即可得出DA=DF即可；
（2）先判断出△ABP≌△FEP得出AB=EF，进而判断出AB∥EF，利用五边形的内角和得出∠ACD=∠FED进而得出△ACD≌△FED即可得出结论，
（3）先求出AC=AB=2，再得出∠CDE=120°，进而同（1）（2）的方法得出AP⊥DP，且∠ADF=∠CDE=120°，再用勾股定理即可得出结论．

解答 解：
（1）如图1，
延长AP、DE交于点F
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
∵∠BAC+∠CDE=180°．∠BAC=α=90°，
∴∠BAC=∠CDE，
∴AB∥DE，
∴∠BAP=∠EFP，
在△ABP和△FEP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠EFP}\\{∠APB=∠FPE}\\{BP=EP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（ASA）
∴AB=EF
∵DC=DE，
∴DA=DF，
∵∠D=90°，
∴∠PAC=45°
（2）如图2，
延长AP至F，且使PF=AP，连接EF、DF、AD，
∵P为BE的中点，
∴BP=EP，
在△ABP和△FEP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=EP}\\{∠APB=∠FPE}\\{AP=FP}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△FEP（ASA）
∴AB=EF=AC，∠ABP=∠FEP
∴AB∥EF
在五边形ABEDC中，∠B+∠C+∠BED=540°-180°=360°
∴∠C=360°-∠B-∠BED
∵AB∥EF，
∴∠B=∠PEF
∵∠DEF=360°-∠PEF-∠BED=360°-∠B-∠BED
∴∠ACD=∠FED，
∴△ACD≌△FED（SAS）
∴DA=DF
∴△DAF为等腰三角形
∵P为AF的中点
∴PD⊥AP
（3）如图3，
连接AP并延长至F，使PF=AP，连接AD，DF，EF，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠CDE=180°
∴∠CDE=120°，
∵AB=AC=2
同（1）（2）可得，AP⊥DP，且∠ADF=∠CDE=120°，
∴AD=DF，
∴∠DAP=$\frac{1}{2}$（180°-∠ADF）=30°，
在Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{10}$
在△DAP中，∠DAP=30°
∴DP=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{10}}{2}$

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，五边形的内角和，平行线的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是构造全等三角形，是一道很好中的中考常考题．