题目内容
如图，直线y=| 1 |
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（1）在点P运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；
（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为
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（3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E、F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：一次函数综合题
专题：常规题型
分析：（1）分x＞-4和当x＜-4讨论，即可求出S关于x的函数关系式；
（2）根据S和x的函数关系式和S的值，求P点坐标即可；
（3）根据△EOF≌△BOA，即可求得直线EF的解析式，即可求得点P的坐标．
（2）根据S和x的函数关系式和S的值，求P点坐标即可；
（3）根据△EOF≌△BOA，即可求得直线EF的解析式，即可求得点P的坐标．
解答：解：（1）点P为直线AB上的点，
当x＞-4时，△OPC的面积S=
×3×（
x+2）=
x+3；
当x＜-4时，△OPC的面积S=
×3×（-
x-2）=-（
x+3）；
△OPC的面积S与x的函数关系式为
（2）△OPC的面积为
时，
设x＞-4时，
x+3=
，x=
，此时纵坐标为
，
设x＜-4时，-
x-3=
，x=-
；此时从坐标为-
；
点P坐标为（
，
）或（-
，-
）．
（3）存在，
∵PE⊥AB，
∴直线PE的解析式为y=-2x+b，
∵△EOF≌△BOA，
∴EO=BO=2，AO=FO=4，
①∴F点坐标为（0，-4），E点坐标为（-2，0）．
将EF代入PE解析式得y=-2x-4，
设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），
则x，y满足
，
解得：x=-
，y=
．
②E（2，0）F（0，4），
将EF代入PE得到解析式：y=-2x+4
设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），
则x，y满足
，
解得：x=
，y=
，
∴存在，P点坐标为（-
，
）或（
，
）．
当x＞-4时，△OPC的面积S=
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| 2 |
| 1 |
| 2 |
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当x＜-4时，△OPC的面积S=
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| 1 |
| 2 |
| 3 |
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△OPC的面积S与x的函数关系式为
|
（2）△OPC的面积为
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设x＞-4时，
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| 8 |
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设x＜-4时，-
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| 9 |
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点P坐标为（
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| 4 |
| 17 |
| 2 |
| 9 |
| 4 |
（3）存在，
∵PE⊥AB，
∴直线PE的解析式为y=-2x+b，
∵△EOF≌△BOA，
∴EO=BO=2，AO=FO=4，
①∴F点坐标为（0，-4），E点坐标为（-2，0）．
将EF代入PE解析式得y=-2x-4，
设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），
则x，y满足
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解得：x=-
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| 5 |
| 4 |
| 5 |
②E（2，0）F（0，4），
将EF代入PE得到解析式：y=-2x+4
设直线AB和直线PF的交点P坐标为（x，y），
则x，y满足
|
解得：x=
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| 5 |
∴存在，P点坐标为（-
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| 4 |
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| 5 |
点评：本题考查了一次函数的运用，考查了全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握一次函数的求解是解题的关键．
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