Question

1．观察下列等式：
第1个等式：a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）；
第2个等式：a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）；
第3个等式：a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）；
第4个等式：a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）；
…
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第n个等式：a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）（n为正整数）．
（2）计算a_n+a_n+1的值（n为正整数）．
（3）直接写出a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n+1的值．
（4）参考题目中的规律，直接写出$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$的运算结果．

Answer 1

分析 （1）根据a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{（2×3-1）×（2×3+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{（2×4-1）×（2×4+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），…，可得a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），据此解答即可．
（2）首先根据（1）求出的a_n的表达式，求出a_n+1的表达式，然后求出a_n+a_n+1的值是多少即可．
（3）首先应用乘法分配律，然后应用加法结合律，求出算式a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n+1的值是多少即可．
（4）首先把每个分数分成$\frac{1}{4}$与两个分数的差的乘积的形式，然后应用应用乘法分配律和加法结合律，求出算式$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$的运算结果是多少即可．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{（2×1-1）×（2×1+1）}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），
a₂=$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{（2×2-1）×（2×2+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），
a₃=$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{（2×3-1）×（2×3+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），
a₄=$\frac{1}{7×9}$=$\frac{1}{（2×4-1）×（2×4+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$），
…，
∴a_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）．

（2）a_n+a_n+1
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）+$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{2（n+1）-1}-\frac{1}{2（2n+1）+1}$]
=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$$+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{（2n-1）（2n+3）}$
=$\frac{2}{（2n-1）（2n+3）}$

（3）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n+1
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$

（4）$\frac{1}{1×5}+\frac{1}{5×9}+\frac{1}{9×13}+…+\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}$
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{5}$）+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$）+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$）+…+$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{4n-3}$-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{13}$+…+$\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{1}{4}$×（1-$\frac{1}{4n+1}$）
=$\frac{n}{4n+1}$
故答案为：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$；$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）．

点评 （1）此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
（2）此题还考查了乘法运算定律、加法运算定律在分数混合运算中的应用，要熟练掌握．