Question

19．已知正方形ABCD中，对角线相交于点O，点E在边BC上，连结AE交BD于点M，过点B作BF⊥AE于点P，交AC于点F．
（1）如图1，若点E在BC的中点，且AB=4，求BP的长；
（2）如图2，连结DF，求证：AM=DF；
（3）如图3，连接EF，MF，若四边形BEFM是菱形，试探究CE与BE的数量关系，请直接写出结论．

Answer 1

分析 （1）先由勾股定理求AE的长，再利用△BPE∽△ABE得比例式求出BP=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（2）证明△AOM≌△BOF，得AM=BF，再由正方形对角线平分且垂直得DF=BF，所以AM=DF；
（3）先证明△AMF≌△BFC，与菱形对应边相等得BE=MF=FC，利用勾股定理求AC的长，则可得FC的长，从而得出结论．

解答 解：（1）如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵点E在BC的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4=2，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BF⊥AE，
∴∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠ABC，
∵∠AEB=∠PEB，
∴△BPE∽△ABE，
∴$\frac{BP}{AB}=\frac{BE}{AE}$，
∴$\frac{BP}{4}$=$\frac{2}{2\sqrt{5}}$，
∴BP=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；
（2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AC⊥BD，
∴∠AOB=∠BOC=90°，
∵∠APF=∠BOF=90°，∠AFP=∠BFO，
∴∠EAC=∠OBF，
∴△AOM≌△BOF，
∴AM=BF，
∵AC是BD的垂直平分线，
∴DF=BF，
∴AM=DF；
（3）如图3，CE=$\sqrt{2}$BE，理由是：
∵AB=BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵四边形BEFM是菱形，
∴∠OBF=∠EBF，
∵∠EAC=∠OBF，
∴∠EBF=∠EAC，
∵MF∥BC，
∴∠OFM=∠OCB，
由（2）得AM=BF，
∴△AMF≌△BFC，
∴AF=BC=4，FC=FM，
∴FC=4$\sqrt{2}$-4，
∴BE=MF=FC=4$\sqrt{2}$-4，
∴EC=4-BE=4-（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{2}$（4$\sqrt{2}$-4）=8-4$\sqrt{2}$，
∴CE=$\sqrt{2}$BE．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形、菱形、全等三角形、相似三角形的性质及判定；再证明线段相等时，如果这两条线段不在全等三角形内，可以利用一个第三边进行转化，本题的第（2）问中：找第三边为BF，通过证明AM=BF、DF=BF可得出结论．