题目内容
如图，PC切⊙O于点C，过圆心的割线PAB交⊙O于A、B两点，BE⊥PE，垂足为E，BE交⊙O于点D，F是PC上一点，且PF=AF，FA的延长线交⊙O于点G．求证：（1）∠FGD=2∠PBC；
（2）
| PC |
| AG |
| PO |
| AB |
分析：（1）连接OC．易得OC⊥PC，则OC∥BE，可得∠POC=∠PBE．又∠PBE=∠FGD，∠POC=∠FGD．∠POC=2∠PBC，即得∠FGD=2∠PBC；
（2）连接BG，证明△PCO∽△AGB即可．
（2）连接BG，证明△PCO∽△AGB即可．
解答：
证明：（1）连接OC．（1分）
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．
∵BE⊥PE，
∴OC∥BE．（2分）
∴∠POC=∠PBE．
又∵∠PBE=∠FGD，
∴∠POC=∠FGD．（3分）
∵∠POC=2∠PBC，
∴∠FGD=2∠PBC．（4分）
（2）连接BG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
又∵OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，∴∠AGB=∠PCO．（5分）
∵FP=FA，
∴∠FPA=∠PAF=∠BAG．（6分）
∴△PCO∽△AGB．（7分）
∴
=
．（8分）
证明：（1）连接OC．（1分）∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC．
∵BE⊥PE，
∴OC∥BE．（2分）
∴∠POC=∠PBE．
又∵∠PBE=∠FGD，
∴∠POC=∠FGD．（3分）
∵∠POC=2∠PBC，
∴∠FGD=2∠PBC．（4分）
（2）连接BG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AGB=90°．
又∵OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，∴∠AGB=∠PCO．（5分）
∵FP=FA，
∴∠FPA=∠PAF=∠BAG．（6分）
∴△PCO∽△AGB．（7分）
∴
| PC |
| AG |
| PO |
| AB |
点评：本题综合考查了切线的性质和相似三角形的性质以及圆周角的性质．
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