Question

如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长2的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（　　）

• A．x2-2

  5

  x+4=0
• B．x2-

  5

  x+2=0
• C．x2+

  5

  x+2=0
• D．x2+2

  5

  x+4=0

Answer 1

分析：首先过点O作OH⊥DE于点H，易证得四边形OCDH是矩形，由垂径定理可求得DH的长，然后由勾股定理求得OD的长，继而可求得AC与BC的长，根据根与系数的关系即可求得答案．

解答：解：过点O作OH⊥DE于点H，
∵四边形CDEF是正方形，且边长为2，
∴四边形OCDH是矩形，
∴OH=CD=DE=2，OC=DH=

1

2

DE=1，
在Rt△ODH中，OD=

OH2+DH2

=

5

，
∴AB=2OD=2

5

，
∴AC=OA-OC=

5

-1，BC=OB+OC=

5

+1，
∴AC+BC=AB=2

5

，AC•BC=4，
∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是：x2-2

5

x+4=0．
故选A．

点评：此题考查了垂径定理、正方形的性质、勾股定理以及根与系数的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．