Question

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，CP=

 

；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，CP=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据相似三角形的性质求出S_△PQC：S_△ABC=1：2，即两个三角形的相似比是1：2，进而求出CP的长；
（2）根据△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，PC+CQ=PA+AB+QB=

1

2

（AB+BC+AC）=6，然后再根据相似三角形的性质求出PC的值．

解答：解：（1）∵S_△PQC=S_{四边形PABQ}，且S_△PQC+S_{四边形PABQ}=S_△ABC，
∴S_△PQC：S_△ABC=1：2．
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴S_△PQC：S_△ABC=（

PC

AC

）²=1：2．
∴PC²=4²×

1

2

．
∴PC=2

2

．

（2）∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等，
∴PC+CQ+PQ=PA+AB+QB+PQ，
∴PC+CQ=PA+AB+QB，
又∵PC+CQ+PA+AB+QB=AC+BC+AB，
∴PC+CQ=PA+AB+QB=

1

2

（AB+BC+AC）=6，
∴CQ=6-CP，
∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC．
∴

CP

CA

=

CQ

CB

，

CP

4

=

6-CP

3

．
解得CP=

24

7

．

点评：本题考查相似三角形的性质．利用相似三角形的性质时，要注意相似比的顺序，同时也不能忽视面积比与相似比的关系．