题目内容

已知：如图①，E、F、G、H按照AE=CG，BF=DH，BF=nAE（n是正整数）的关系，分别在两邻边长a、na的矩形ABCD各边上运动，设AE=x，四边形EFGH的面积为S．
（1）当n=1、2时，如图②③，观察运动情况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使S= $数学公式$ S_矩形ABCD（2）当n=3时，如图④，求S与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），探索S随x增大而变得化的规律；猜想四边形EFGH各顶点运动到何位置使S= $数学公式$ S_矩形ABCD
（3）当n=k（k≥1）时，你所得到的规律和猜测是否成立，请说明理由．

解：（1）当n=1时，四边形EFGH各顶点运动到矩形ABCD各对应边中点，使S= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD当n=2时，四边形EFGH各顶点也运动到矩形ABCD各对应边中点，使S= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD

（2）当n=3时，如图④，由已知条件知，AE=CG=x，BF=DH=3x，AH=CF=3a-3x，BE=DG=a-x
∵S=S_矩形ABCD-S_Rt△AEH-S_Rt△BFE-S_Rt△CGF-S_Rt△DHG=S_矩形ABCD-2S_Rt△AEH-2S_Rt△BFE
=AB×CD-2× $\text{[math]}$ AE×AH-2× $\text{[math]}$ BF×BE
∴S=3a²-x（3a-3x）-3x（a-x）
=6（x²-ax）+3a²
即S=6（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ a²（0≤x≤a）
∵6＞0
∴二次函数图象的开口向上
∴规律是：在对称轴x= $\text{[math]}$ 左侧，S随x的增大而减小；在对称轴x= $\text{[math]}$ 右侧，S随x的增大而增大．
猜测；四边形EFGH各顶点仍然运动到矩形ABCD各对应边中点．

（3）当n=k时，上述规律和猜测是成立的．
同理可求S=2kx²-2kax+ka²= $\text{[math]}$ （0≤x≤a）
由于k≥1，所以2k＞0
∴二次函数图象的开口向上，对称轴依然是x= $\text{[math]}$ ，根据函数性质知S随x的增大而变化的规律，即：“在对称轴x= $\text{[math]}$ 左侧，S随x的增大而减小；在对称轴x= $\text{[math]}$ 右侧，S随x的增大而增大”是仍然成立的．
当x= $\text{[math]}$ 时，即AE=CG= $\text{[math]}$ ，易知BF=DH= $\text{[math]}$ ，
又∵S= $\text{[math]}$
∵S_矩形ABCD=ka²
∴S= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD
即猜测：四边形EFGH各顶点运动到矩形ABCD各对应边中点，使S= $\text{[math]}$ S_矩形ABCD是成立的．
分析：本题要先求出四边形EFGH的面积与x的函数关系式，然后根据函数的性质来判断x的知和E、H等的位置．由于AE=CB，AH=CF，可证得△AEH≌△CGF，因此两三角形的面积相等，同理可求得△EBF和GDH的面积相等，因此四边形EFGH的面积可用矩形ABCD的面积-2×△EBF的面积-2×△AEH的面积来求得．三角形AEH中，AE=x，AH=na-nx，据此可求出三角形AEH的面积，同理可求出三角形EBF的面积，那么根据上面所得出的四边形EFGH的面积计算方法可求出关于四边形EFGH的面积与x的函数关系式．进而可判断当四边形EFGH的面积是矩形面积的一半时x的值，即E、H的位置．
点评：本题主要考查了矩形的性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．