题目内容

想一想：将等式
32
=3和
72
=7反过来的等式3=
32
和7=
72
还成立吗？式子：9
1
27
=
92
27
=
3
和4
1
8
=
42
8
=
2
成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式：（1）2
1
2
（2）11
2
11
（3）6
1
12
．
成立，
（1）2
1
2
=
22
2
=
2
，
（2）11
2
11
=
112×2
11
=
22
，
（3）6
1
12
=
62
12
=
3
．
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=3和
72
=7反过来的等式3=
32
和7=
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1
27
=
92
27
=
3
和4
1
8
=
42
8
=
2
成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式：（1）2
1
2
（2）11
2
11
（3）6
1
12
．
等式中找规律

　　孙海洋是个爱动脑筋的八年级学生，他特别喜欢数学，一有空就看数学课外书，并琢磨书上的问题．有一次，他从一本书中看到了下面一个有趣的问题：

　　仔细观察下面4个等式：

　　32＝2＋22＋3

　　42＝3＋32＋4

　　52＝4＋42＋5

　　62＝5＋52＋6

　　……

　　请写出第5个等式，由此能发现什么规律？用公式将发现的规律表示出来．

　　对这个问题，孙海洋感到很新奇，他认真分析题目给出的4个等式，发现有以下一些结构特征：

　　(1)每个等式的左边都是一个自然数的平方，等式的右边都是3个数的和．

　　(2)4个等式的左边依次是32、42、52、62，它们的底数3、4、5、6是4个连续的自然数，其大小均比所处等式的序号多2．

　　(3)每个等式右边的3个加数也有明显的规律．

　　第1个加数和第3个加数是两个连续的自然数，并且第3个加数等于该等式左边平方数的底数，第2个加数也是一个平方数，底数等于第1个加数．

　　根据以上规律，孙海洋猜想第5个等式应该是72＝6＋62＋7．

　　孙海洋进一步归纳了这5个等式的规律，用公式表示为(n＋1)2＝n＋n2＋(n＋1)…①其中n＝2，3，…

　　如果将①式右边变形、左边不变，那么可得(n＋1)2＝n2＋2n＋1…②

　　等式②多么眼熟啊！它不就是完全平方公式的一个具体应用吗？由此可见，孙海洋同学归纳的规律是正确的．

想一想，当n＝0，1时，等式①是否成立？当n为负整数时，等式①是否成立？

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