Question

【题目】如图，点是正方形对角线上一点，于，点、分别是、的中点．

（1）求证：；

（2）当点在对角线（不含、两点）上运动时，是否为定值？如果是，请求其值；如果不是，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）是定值，

【解析】

（1）首先证明△AFE是等腰直角三角形，可得PF⊥AE，由直角三角形的性质可得结论；
（2）由“SAS”可证△APB≌△APD，可得PB=PD，通过证明△AFC∽△APB，可得 ，即可得．

解：（1）如图，连接PF，

∵四边形ABCD是正方形

∴∠BAC=45°=∠CAD，AB=AD

∵EF⊥AB

∴∠BAC=∠AEF=45°

∴AF=EF，

∴△AFE是等腰直角三角形，且P是AE中点，

∴PF⊥AE，

∵点M是Rt△PFC斜边FC的中点

∴PM=FC

（2）是定值，

理由如下：如图，连接PB

∵AP=AP，∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD

∴△APB≌△APD（SAS）

∴PD=PB

∵△ABC，△AFE是等腰直角三角形

∴，

∴，且∠BAP=∠FAC

∴△AFC∽△APB

∴

∴

∴