Question

9、设x₁，x₂，…，x_n（n＞4）为1或-1，并且x₁x₂x₃x₄+x₂x₃x₄x₅+…+x_nx₁x₂x₃=0．求证：n是4的倍数．

Answer 1

分析：首先由已知易得x₁x₂x₃x₄，x₂x₃x₄x₅，…，x_nx₁x₂x₃，这些数或为1或为-1，再由这些数和为0，可得积为1或-1的数都为偶数个，据此求解．

解答：解：∵x₁，x₂，…，x_n（n＞4）为1或-1，
∴x₁x₂x₃x₄，x₂x₃x₄x₅，…，x_nx₁x₂x₃，这些数或为1或为-1，且他们的乘积为 （X₁X₂…X_n）⁴=1，
∵x₁x₂x₃x₄+x₂x₃x₄x₅+…+x_nx₁x₂x₃=0，
∴-1有偶数个，设为2k个，则1也应该有2k个，
∴总共有4k项．
即n=4k，
∴n是4的倍数．

点评：此题主要考查整数的奇偶性问题，考虑积的符号以及和为0时，项数的奇偶性是关键．