Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是BC边上的一个动点，PE⊥AP，PE交DC于点E，AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：①△PCE∽△ABP；②CE•AB=PC•BP；
（2）当FC=3时，求EC、BP的长及△PCE和△ABP的面积比．

Answer 1

分析：（1）①根据矩形的性质和垂直的性质即可证明△PCE∽△ABP；②利用①中相似三角形的性质即可证明CE•AB=PC•BP；
（2）设BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），解方程即可求出BP的长，再分两种情况分别讨论即可．

解答：解：（1）①在矩形ABCD中，
∵PE⊥AP，
∴∠CPE+∠APN=90°，
∵∠BAP+∠APB=90°，
∴∠CPE=∠BAP，
∵∠ECP=∠B=90°，
∴△PCE∽△ABP；
②∵△PCE∽△ABP；
∴CE：BP=PC：AB，
∴CE•AB=PC•BP；

（2）∵EC∥AB，
∴△ECF∽△ABF，
∴FC：FB=EC：AB，
∴3：8=CE：4，
∴CE=1.5，
设BP=x，由CE•AB=PC•BP可得1.5×4=x（5-x），
解得：x=2或3，即BP=2或BP=3，
（Ⅰ）当BP=2时，PC=BC-BP=5-2=3，
∵△PCE∽△ABP，
∴△PCE和△ABP的面积比=9：16；
（Ⅱ）当BP=3时，PC=BC-BP=2，
∴△PCE和△ABP的面积比=1：4．

点评：本题考查相似三角形的判定和性质以及矩形的性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．