题目内容
（附加题）工人师傅有两块板材边角料，其中一块是边长60cm的正方形板材；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板材（如下图①）．工人师傅想将这两块板材裁成两块全等的矩形板材，他将两块板材叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板材的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．（1）利用图②，求FC的长；
（2）如图③，若矩形的一个顶点P在线段EF上，P点到BG的距离为PN，试证明：
；（3）利用图③，求顶点B所对的顶点P到BC的距离PN为多少时，矩形PMBN的面积最大？最大面积是多少？
【答案】分析：（1）先求出ED、CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例求出DF与FC的比，再根据CD=60cm即可求解；
（2）先求出CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例可得
=
，然后代入数据计算即可得证；
（3）设BN为x，则NG=120-x，根据（2）的结论表示出PN的长度，然后利用矩形的面积公式列式，再根据二次函数的最值问题解答．
解答：（1）
解：根据题意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，
∵正方形的对边平行，
∴AD∥BG，
∴
=
，
即
=
=
，
又∵CD=60cm，
∴FC=
×60=40cm；
（2）证明：∵P点到BG的距离为PN，
∴PN⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴
=
，
即
=
=
；
（3）解：设BN为x，则NG=120-x，
根据（2）可得，PN=
NG=
（120-x），
∴矩形PMBN的面积=BN•PN=x•
（120-x）=-
（x2-120x）=-
（x-60）2+2400，
∴当x=60时，矩形PMBN的面积最大，
此时PN=
（120-x）=
（120-60）=40cm，
最大面积值是2400cm2．
点评：本题考查了直角梯形，正方形的性质，相似三角形的对应边成比例，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不是很大．
（2）先求出CG的长度，然后根据相似三角形对应边成比例可得
=
，然后代入数据计算即可得证；（3）设BN为x，则NG=120-x，根据（2）的结论表示出PN的长度，然后利用矩形的面积公式列式，再根据二次函数的最值问题解答．
解答：（1）
解：根据题意，ED=60-30=30cm，CG=120-60=60cm，∵正方形的对边平行，
∴AD∥BG，
∴
=
，即
=
=
，又∵CD=60cm，
∴FC=
×60=40cm；（2）证明：∵P点到BG的距离为PN，
∴PN⊥BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DC⊥BC，
∴△GCF∽△GPN，
∴
=
，即
=
=
；（3）解：设BN为x，则NG=120-x，
根据（2）可得，PN=
NG=
（120-x），∴矩形PMBN的面积=BN•PN=x•
（120-x）=-
（x2-120x）=-
（x-60）2+2400，∴当x=60时，矩形PMBN的面积最大，
此时PN=
（120-x）=
（120-60）=40cm，最大面积值是2400cm2．
点评：本题考查了直角梯形，正方形的性质，相似三角形的对应边成比例，二次函数的最值问题，综合性较强，但难度不是很大．
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期末1卷素质教育评估卷系列答案
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