题目内容

如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠C=30°，CF= $数学公式$ cm，则ED的长等于

A.
1cm
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
2cm

D
分析：连接OF，设OF=r，先根据直角三角形的性质得出∠CFG的度数，由锐角三角函数的定义求出GF的长，进而可得出EG的长，由于OC=OF故∠OFC=∠C=30°，由直角三角形的性质可知OG= $\text{[math]}$ OF= $\text{[math]}$ ，在Rt△OGF中利用勾股定理求出r的值，在Rt△EGD中利用勾股定理即可得出DE的长．
解答：

解：连接OF，设OF=r，
∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴CD⊥EF，
∵∠C=30°，
∴∠CFG=60°，
∵CF=2 $\text{[math]}$ cm，
∴GF= $\text{[math]}$ CF= $\text{[math]}$ cm，
∴EG= $\text{[math]}$ cm，
∵OC=OF，
∴∠OFC=∠C=30°，
∴∠OFG=30°
∴OG= $\text{[math]}$ OF= $\text{[math]}$ ，
在Rt△OGF中，
∵OG= $\text{[math]}$ ，OF=r，GF= $\text{[math]}$ ，
∴r²=（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）²，解得r=2，
∴OG=GD=1，
Rt△EGD中，
ED²=EG²+GD²，即ED²=（ $\text{[math]}$ ）²+1²，解得ED=2cm．
故选D．
点评：本题考查的是垂径定理及直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．