Question

如图，四边形ABCD为矩形，点E在边BC上，四边形AEDF为菱形．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）试探究：当矩形ABCD长宽满足什么关系时，菱形AEDF为正方形？请说明理由．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,正方形的判定

专题：

分析：（1）由四边形ABCD为矩形，四边形AEDF为菱形，可得AB=DC，∠B=∠C=90°，AE=DE，然后利用HL即可判定：△ABE≌△DCE；
（2）当BC=2AD时，易证得△ABE和△DCE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=90°，则可判定菱形AEDF为正方形．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，

AB=DC AE=DE

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL ）；

（2）当矩形ABCD长宽满足：BC=2AB时，菱形AEDF为正方形．
理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB=2DC，
∴AB=BE，CE=DC，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∴菱形AEDF为正方形．

点评：此题考查了矩形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质以及正方形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．