题目内容
如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4
．（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°，若旋转过程中OF与OA的夹角（图2中的∠FOA）的正切的值为x，两个矩形重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；
（2）先求出矩形ODEF的边长为1、
，再分①当0≤x≤
时重叠部分是直角三角形和②当x＜
是重叠部分是四边形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=
S矩形ABCO=
×4×4
=
；
（2）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4
，
∴OF=
，OD=1，
∴tan∠FOE=
，
①当0≤x≤
时，重叠部分是直角三角形，
y=
OF•OFtan∠FOA=
×
×
x=
x；
②当x＞
时，重叠部分是四边形，
y=OD•OF-
OD•OD
=1×
-
×1×
=
-
；
（3）存在．
∵OE=
=
=2，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
=
=8，
∴8h=4×4
，
解得h=2
，
∴当点E到AC的距离为2
+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2
-2时，△ACE的面积有最小值，
S最大=
×8（2
+2）=8
+8，
S最小=
×8（2
-2）=8
-8．
点评：本题综合性较强，主要利用了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键．
（2）先求出矩形ODEF的边长为1、
，再分①当0≤x≤时重叠部分是直角三角形和②当x＜是重叠部分是四边形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解；（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S矩形ODEF=
S矩形ABCO=×4×4=；（2）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4
，∴OF=
，OD=1，∴tan∠FOE=
，①当0≤x≤
时，重叠部分是直角三角形，y=
OF•OFtan∠FOA=××x=x；②当x＞
时，重叠部分是四边形，y=OD•OF-
OD•OD=1×-×1×=-；（3）存在．
∵OE=
==2，所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=
==8，∴8h=4×4
，解得h=2
，∴当点E到AC的距离为2
+2时，△ACE的面积有最大值，当点E到AC的距离为2
-2时，△ACE的面积有最小值，S最大=
×8（2+2）=8+8，S最小=
×8（2-2）=8-8．点评：本题综合性较强，主要利用了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
．
．
(3)将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连结EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由。