Question

如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4

3

．
（1）求矩形ODEF的面积；
（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转90°，若旋转过程中OF与OA的夹角（图2中的∠FOA）的正切的值为x，两个矩形重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据相似多边形面积的比等于相似比的平方求解即可；
（2）先求出矩形ODEF的边长为1、

3

，再分①当0≤x≤

3

3

时重叠部分是直角三角形和②当x＜

3

3

是重叠部分是四边形，矩形ODEF剩余部分是直角三角形两种情况求解；
（3）旋转一周，点E的轨迹是以点O为圆心以2为半径的圆，所以△ACE的AC边上的高就是点E到AC的距离，也就是AC到圆上的点的距离，又最大值和最小值，最大值为点O到AC的距离与圆的半径的和，最小值为点O到AC的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．

解答：解：（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，
∴S_矩形ODEF=

1

16

S_矩形ABCO=

1

16

×4×4

3

=

3

；

（2）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4

3

，
∴OF=

3

，OD=1，
∴tan∠FOE=

3

3

，
①当0≤x≤

3

3

时，重叠部分是直角三角形，
y=

1

2

OF•OFtan∠FOA=

1

2

×

3

×

3

x=

3

2

x；
②当x＞

3

3

时，重叠部分是四边形，
y=OD•OF-

1

2

OD•OD

1

tan∠FOA

=1×

3

-

1

2

×1×

1

x

=

3

-

1

2x

；

（3）存在．
∵OE=

OF2+OD2

=

3 2+12

=2，
所以点E的轨迹为以点O为圆心，以2为半径的圆，
设点O到AC的距离为h，
AC=

AB2+BC2

=

42+(4 3 )2

=8，
∴8h=4×4

3

，
解得h=2

3

，
∴当点E到AC的距离为2

3

+2时，△ACE的面积有最大值，
当点E到AC的距离为2

3

-2时，△ACE的面积有最小值，
S_最大=

1

2

×8（2

3

+2）=8

3

+8，
S_最小=

1

2

×8（2

3

-2）=8

3

-8．

点评：本题综合性较强，主要利用了相似多边形的性质，分情况讨论的思想，勾股定理，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合考虑各知识点之间关系是解本题的关键．