Question

四边形是大家最熟悉的图形之一，我们已经发现了它的许多性质．只要善于观察、乐于探索，我们还会发现更多的结论．

（1）四边形一条对角线上任意一点与另外两个顶点的连线，将四边形分成四个三角形（如图①），其中相对的两对三角形的面积之积相等．你能证明这个结论吗？试试看．

已知：在四边形ABCD中，O是对角线BD上任意一点．（如图①）

求证：S_△OBC•S_△OAD=S_△OAB•S_△OCD；

（2）在三角形中（如图②），你能否归纳出类似的结论？若能，写出你猜想的结论，并证明：若不能，说明理由．

 

　

Answer 1

证明：（1）分别过点A、C，做AE⊥DB，交DB的延长线于E，CF⊥BD于F，

则有：S_△AOB=BO•AE，

S_△COD=DO•CF，

S_△AOD=DO•AE，

S_△BOC=BO•CF，

∴S_△AOB•S_△COD=BO•DO•AE•CF，

S_△AOD•S_△BOC=BO•DO•CF•AE，

∴S_△AOB•S_△COD=S_△AOD•S_△BOC．；

（2）能．从三角形的一个顶点与对边上任意一点的连线上任取一点，与三角形的另外两个顶点连线，将三角形分成四个小三角形，其中相对的两对三角形的面积之积相等．

或S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC，

已知：在△ABC中，D为AC上一点，O为BD上一点，

求证：S_△AOD•S_△BOC=S_△AOB•S_△DOC．

证明：分别过点A、C，作AE⊥BD，交BD的延长线于E，作CF⊥BD于F，

则有：S_△AOD=DO•AE，S_△BOC=BO•CF，

S_△OAB=OB•AE，S_△DOC=OD•CF，

∴S_△AOD•S_△BOC=OB•OD•AE•CF，

S_△OAB•S_△DOC=BO•OD•AE•CF，

∴S_△AOD•S_△BOC=S_△OAB•S_△DOC．