Question

19．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b=ab²+2ab+a，如：1☆3=1×3²+2×1×3+1=16
（1）求（-2）☆3的值；
（2）若（$\frac{a+1}{2}$☆3）☆（-$\frac{1}{2}$）=8，求a的值；
（3）若2☆x=m，（$\frac{1}{4}$x）☆3=n（其中x为有理数），试用x表示m-n．

Answer 1

分析 （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果；
（2）已知等式利用已知新定义化简求出a即可；
（3）已知等式利用已知新定义化简，表示出m-n即可．

解答 解：（1）根据题意得：原式=-18-12-2=-32；
（2）已知等式整理得：[$\frac{9}{2}$（a+1）+3（a+1）+$\frac{a+1}{2}$]×（-$\frac{1}{2}$）²-[$\frac{9}{2}$（a+1）+3（a+1）+$\frac{a+1}{2}$]+[$\frac{9}{2}$（a+1）+3（a+1）+$\frac{a+1}{2}$]=8，
即2（a+1）=8，
解得：a=3；
（3）已知等式整理得：2x²+4x+2=m，$\frac{9}{4}$x+$\frac{3}{2}$x+$\frac{1}{4}$x=n，即4x=n，
则m-n=2x²+2．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．