Question

【题目】 如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90 ,AC=6cm,BC=8cm,动点 P 从点 B 出发,在 BA边上以每秒 5cm 的速度向点 A 匀速运动,同时动点 Q 从点 C 出发,在 CB 边上以每秒 4cm 的 速度向点 B 匀速运动,运动时间为 t 秒(0<t<2)，连接 PQ.

(1)若△BPQ 与△ABC 相似，求 t 的值；

(2)当 t 为何值时，四边形 ACQP 的面积最小，最小值是多少?

(3)连接 AQ，CP，若 AQ⊥CP，求 t 的值。

Answer 1

【答案】(1) ：当 t=1 或 t=时，△BPQ 与△ABC 相似;(2)18;(3) t=

【解析】

根据题意△BPQ∽△BAC 相似再结合题意列比式解答此问，先四边形 ACQP 的面积式用含t的表达式表示出来，再求其最小值；过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，设 AQ 与 CP 相交于点 N，先证明△ACQ∽CMP，再利用结论求t值.

(1)①△BPQ∽△BAC 相似时，则

∵BP=5t，QC=4t，AC=6cm，BC=8cm，

∴，解得：t=1；

②△BPQ∽△BCA 相似时，

则,即，解得：t=

综合上述：当 t=1 或 t=时，△BPQ 与△ABC 相似，

(2)作 PM⊥BC 于点 M.则△BPM∽△BAC，

∴,即，解得，PM=3t，

设四边形 ACQP 的面积为 y,由题意得：y=×6×8(84t)×3t=6(t1)2+18

∴当 t=1 时，面积最小为 18.

(3)过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，设 AQ 与 CP 相交于点 N，则有 PB=3t，MC=84t，

∵∠NAC+∠NCA=90 ,∠PCM+∠NCA=90 ，∴∠NAC=∠PCM， 又∵∠ACQ=∠CMP=90 ，∴△ACQ∽CMP，

∴,即，解得：t=