题目内容

如图，已知抛物线 $数学公式$ 经过点A（-2，0），抛物线的顶点为D，过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连接BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒l个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t（s）．问：当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC=OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒l个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值．
（4）在（3）中当t为何值时，以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似？（直接写出答案）

解：（1）∵抛物线y=a（x-1）²+3 $\text{[math]}$ （a≠0）经过点A（-2，0），
∴0=9a+3 $\text{[math]}$ ，
∴a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ （x-1）²+3 $\text{[math]}$ ；

（2））①∵D为抛物线的顶点，
∴D（1，3 $\text{[math]}$ ），
过D作DN⊥OB于N，则DN=3 $\text{[math]}$ ，AN=3，
∴AD= $\text{[math]}$ =6，
∴∠DAO=60°．
∵OM∥AD，

①当AD=OP时，四边形DAOP是平行四边形，
∴OP=6，
∴t=6．
②当DP⊥OM时，四边形DAOP是直角梯形，
过O作OH⊥AD于H，AO=2，则AH=1（如果没求出∠DAO=60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA（求AH=1）
∴OP=DH=5，t=5，
③当PD=OA时，四边形DAOP是等腰梯形，
易证：△AOH≌△CDP，
∴AH=CP，
∴OP=AD-2AH=6-2=4，
∴t=4．
综上所述：当t=6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形；

（3）∵D为抛物线的顶点坐标为：D（1，3 $\text{[math]}$ ），
过D作DN⊥OB于N，则DN=3 $\text{[math]}$ ，AN=3，
∴AD= $\text{[math]}$ =6，
∴∠DAO=60°，
∴∠COB=60°，OC=OB，△OCB是等边三角形．
则OB=OC=AD=6，OP=t，BQ=2t，
∴OQ=6-2t（0＜t＜3）
过P作PE⊥OQ于E，则 $\text{[math]}$ ，
∴S_BCPQ= $\text{[math]}$ ×6×3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ×（6-2t）× $\text{[math]}$ t，
= $\text{[math]}$ ，
当 $\text{[math]}$ 时，S_BCPQ的面积最小值为 $\text{[math]}$ ，

（4）当△AOD∽△OQP，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AO=2，AD=6，QO=6-2t，OP=t，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
当△AOD∽△OPQ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
故t= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时以O，P，Q为顶点的三角形与△OAD相似．
分析：（1）将A的坐标代入抛物线y=a（x-1）²+3 $\text{[math]}$ （a≠0）可得a的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）易得D的坐标，过D作DN⊥OB于N；进而可得DN、AN、AD的长，根据平行四边形，直角梯形，等腰梯形的性质，用t将其中的关系表示出来，并求解可得答案；
（3）根据（2）的结论，易得△OCB是等边三角形，可得BQ、PE关于t的关系式，将四边形的面积用t表示出来，进而分析可得最小值及此时t的值，进而可求得PQ的长．
（4）分别利用当△AOD∽△OQP与当△AOD∽△OPQ，得出对应边比值相等，进而求出即可．
点评：本题考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质、平行四边形、直角梯形、等腰梯形的判定等知识，将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题是考查重点．