题目内容
19．
喜羊羊、美羊羊、懒羊羊在微信建立了一个学习讨论组，现在他们讨论了一道几何题，如图所示，请你填写完整的解答过程．懒羊羊：我现在有一个△ABC，其中∠A＞∠C，BD是高，BE是角平分线，如图，请美羊羊设置问题，喜羊羊来回答．
美羊羊：问题一：若∠A=45°，∠C=25°，求∠ABD与∠BEA的度数；
美羊羊：问题二：试判断∠DBE与∠A-∠C之间的数量的关系，并说明理由．
分析 （1）先根据直角三角形的性质，求得∠ABD的度数，再根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，求得∠BEA的度数；
（2）在△ABD中，求得∠ABD=90°-∠A，在△ABC中，求得∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A-∠C），最后根据∠DBE=∠ABE-∠ABD进行计算即可．
解答 解：（1）∵∠A=45°，BD是高，
∴△ABD中，∠ABD=90°-45°=45°，
∵∠A=45°，∠C=25°，
∴∠ABC=110°，
又∵BE是角平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$×110°=55°，
∵∠BEC是△ABE的外角，
∴∠BEC=∠A+∠ABE=45°+55°=100°；
（2）∠DBE=$\frac{1}{2}$（∠A-∠C）．
理由：∵BD是高，
∴△ABD中，∠ABD=90°-∠A，
∵BE是角平分线，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（180°-∠A-∠C），
∴∠DBE=∠ABE-∠ABD
=$\frac{1}{2}$（180°-∠A-∠C）-（90°-∠A）
=90°-$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$∠C-90°+∠A
=$\frac{1}{2}$∠A-$\frac{1}{2}$∠C
=$\frac{1}{2}$（∠A-∠C）．
点评 本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形的角平分线、高线的定义的运用，根据角的和差关系进行计算是解题的关键，本题对识图能力的要求比较高．
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