Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（-3,0），经过B点的直线交抛物线于点D（-2，-3）.

（1）求抛物线的解析式和直线BD解析式；

（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD,交抛物线于点F,是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）将A（-3,0）,D(-2，-3)的坐标代入y=x²+bx+c得，

，

        解得：，

∴y=x²+2x－3    ……………2分

       由x²+2x－3=0，

得： x₁=-3，x₂=1，

 ∴B的坐标是（1,0），

设直线BD的解析式为y=kx+b,则

，

解得：

，

       ∴直线BD的解析式为y=x－1；  ……………………4分

       （2）∵直线BD的解析式是y=x－1，且EF∥BD,

∴直线EF的解析式为：y=x－a.     ……………………5分

若四边形BDFE是平行四边形，

则DF∥x轴,

∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3. ……………6分

由，得

y²+（2a+1）y+a²+2a-3=0，

解得：y=.       ……………………7分

令=－3，

解得：a₁=1，a₂=3.                    ……………………9分

当a=1时，E点的坐标（1，0），这与B点重合，舍去；

∴当a=3时，E点的坐标（3，0），符合题意.

∴存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形. ……………10分