题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠B=30°．（1）把△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得△AB′C′，B′C′交AB于点D．
①若BC=3，旋转角为30°，求C′D的长；
②若点B经过的路径与AB，AB′所围图形的面积与△ABC面积的比值是
| ||
| 3 |
（2）点P在边AC上，CP：PA=
| 3 |
分析：（1）①首先求出AC的长，进而得出AC′=AC，∠C′=90°，得出C′D=AC′•tan30°=1；
②利用AB′所围图形的面积与△ABC面积的比值是
π，得出n的度数即可；
（2）分别根据等边三角形的判定得出，∠APA1=60°，再利用CP：PA=
：2，得出∠CPA2=30°，即可得出答案．
②利用AB′所围图形的面积与△ABC面积的比值是
| ||
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（2）分别根据等边三角形的判定得出，∠APA1=60°，再利用CP：PA=
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解答：
解：（1）①∵∠C=Rt∠，∠B=30°，BC=3，
∴AC=BC•tan30°=3×
=
，
又∵∠CAC′=30°，
∴∠C′AD=30°
而AC′=AC，∠C′=90°，
∴C′D=AC′•tan30°=1；
②如图1，设AC=k，则BC=
k，AB=2k，旋转角的度数为n，
则
=
π，
∴n=45°，
∴∠BDB′=45°+30°=75°；
（2）如图2，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵PA=PA1，
∴∠APA1=60°，
∵CP：PA=
：2，PA=PA2
∴CP：PA2=
：2，
∴∠CPA2=30°，
∴∠APA2=150°，
∴n=60°或150°．
解：（1）①∵∠C=Rt∠，∠B=30°，BC=3，∴AC=BC•tan30°=3×
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又∵∠CAC′=30°，
∴∠C′AD=30°
而AC′=AC，∠C′=90°，
∴C′D=AC′•tan30°=1；
②如图1，设AC=k，则BC=
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则
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∴n=45°，
∴∠BDB′=45°+30°=75°；
（2）如图2，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°
∵PA=PA1，
∴∠APA1=60°，
∵CP：PA=
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∴CP：PA2=
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∴∠CPA2=30°，
∴∠APA2=150°，
∴n=60°或150°．
点评：此题主要考查了图形的旋转以及扇形面积公式和锐角三角函数的关系等知识，注意数形结合分析得出是解题关键．
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（2013•莆田质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E是AB上一点，以AE为直径的⊙O过点D，且交AC于点F．
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